Mengapa Saya Harus Belajar Matematika?

Mengapa saya harus belajar matematika? 

Pertanyaan ini sering muncul di benak sebagian besar orang. Mulai dari kalangan siswa siswi bahkan  kalangan orang dewasa.

Jawaban paling simpel yang mungkin terpikir adalah karena matematika merupakan mata pelajaran yang pasti muncul ketika Ujian Nasional diadakan mulai dari Sekolah Dasar hingga Sekolah Menengah Atas bahkan Ujian masuk perguruan tinggi pun melibatkan mata pelajaran matematika. 

Tidak berhenti pada ujian masuk saja, setelah lulus ujian masuk perguruan tinggi mata pelajaran ini masih menjadi salah satu mata pelajaran wajib yang harus dipilih dan dihadapi ketika kuliah. Menjadi sangat menyebalkan bukan.

Namun  sebenarnya kita tidak bisa hidup tanpa ilmu matematika. Contoh  simpel saja yaitu ketika kamu ditanyakan berapa umurmu saat ini.  Pasti nya untuk menghitung umurmu, kamu akan mengurangi tahun sekarang dengan tahun kelahiran. Nah terbukti kan disana matematika terlibat dan kamu membutuhkannya. walaupun hanya teori dasar.

Dalam beberapa literatur disebutkan Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya pikir manusia.

Ada beberapa alasan yang lebih kuat kenapa kita harus belajar matematika.

1. Melatih untuk pantang menyerah

Sesulit apapun soal matematika yang sedang dikerjakan. Namun kita tetap berusaha untuk dapat menyelesaikannya meskipun jawabannya salah, sehingga hal ini membuat kita terbiasa untuk tidak menyerah ketika menghadapi  persoalan sulit lainnya.

2. Melatih berpikir sesuai gayamu

Dalam menyelesaikan kita tidak diharuskan mengikuti sama persis seperti rumus yang diberikan. Asalkan  saja tidak menyalahi aturan dasar dan pastinya jawaban kita harus tepat. Ini membuat kita terbiasa melakukan sesuatu sesuai gaya kita sendiri tanpa harus meniru yang dilakukan orang lain.

3. Melatih berpikir jauh ke depan

Menyelesaikan soal matematika harus teliti dan sangat hati-hati. Sehingga dapat menghindari kesalahan yang mungkin terjadi. Ini menyebabkan kita akan berpikir jauh sebelum bertindak dan melakukan sesuatu hal penting.

4. Melatih berpikir sistematis

Matematika merupakan ilmu sistematis dan memiliki urutan-urutan tertentu dan teratur. Cara berpikir seperti ini sangat membantu kita dalam menyelesaikan setiap persoalan dengan lebih mudah dan cepat.

5. Membuat logika berpikir semakin berkembang

Matematika menuntut kita selalu  berpikir logis karena jawaban dari permasalahan matematika bisa diperoleh dari perhitungan  dan pengamatan yang tepat, bukan dari  dugaan atau tebakan. Sering mengerjakan  soal matematika melatih otak kita menggunakan logika secara optimal. Logika mempertajam pola pikir dalam menganalisa suatu masalah dan  mengambil  suatu keputusan. Sehingga dalam menghadapi segala sesuatu kita akan lebih banyak berpikir dengan logika sebelum bertindak.  

Read More

Tutorial Menyelesaikan Program Linear Menggunakan Geogebra

1. Buka aplikasi Geogebra jika sudah punya aplikasi offline, atau bisa juga menggunakan aplikasi online. Namun untuk menggunakan versi online harus memiliki akun Geogebra terlebih dahulu dengan cara mendaftar menggunakan email.

Link download aplikasi geogebra offline: https://filehippo.com/download_geogebra/download/5366a76f5ac5f7c01daab38f601b0e7b/

Link Online :  www.geogebra.org

2. Pada tutorial ini akan digunakan aplikasi Geogebra offline versi 5.0. Setelah membuka aplikasi geogebra akan muncul tampilan seperti berikut

3. Untuk menyelesaikan permasalahan program linear menggunakan geogebra. Kita harus memiliki satu contoh soal untuk diselesaikan. Misalkan

Fungsi Objektif : 55x + 89y

Fungsi Batasan:

2x+9y=648

2x+y=304

x, y>0

Kita akan memasukkan fungsi batasan dengan cara mengetikannya di kolom INPUT yang berada pada bagian bawah kiri dan kemudian tekan Enter.

4. Karena nilai dari fungsi batasan yang besar maka perlu di Zoom untuk  melihat grafik yang muncul. Dengan  cara mengklik Move Graphics View dan pilih Zoom Out.

Dan grafik dari fungsi yang kita input tadi akan terlihat

5. Dengan mengulangi langkah 3 kita akan memasukkan fungsi batasan kedua dengan cara yang sama.

6.  Untuk memudahkan penyelesaian dan mengetahui titik potong yang akan kita pilih. Kita akan memberikan titik pada setiap perpotongan garis. Dengan cara mengklik POINT dan pilih POINT.

7. Kemudian klik pada setiap perpotongan garis. 

8. Sekarang kita akan mewarnai segitiga yang terbentuk antara garis fungsi batasan dengan garis koordinat x dan y. Dengan cara klik POLYGON karena yang ingin diwarnai adalah area berbentuk segitiga maka pilih POLYGON.

9. Kemudian klik pada titik A, C, F dan klik kembali pada titik A untuk menghubungkan semuanya. 

10. Jika terlihat ada huruf yang muncul di dalam segitiga, untuk menghilangkannya adalah dengan mengklik bulatan  biru sebelah kiri dibagian SEGMENT. Maka huruf-huruf tersebut akan hilang.

11. Ulangi langkah 8-10 untuk mewarnai segitiga DEO yang terbentuk oleh fungsi batasan kedua.

12. Untuk membedakan warna dari kedua segitiga, klik pada salah satu segitiga yang ingin diubah  warnanya. Kemudian klik kanan pilih OBJECT PROPERTIES.

Maka akan muncul kotak berikut pilih COLOR dan klik  warna pilihanmu.

Maka warna SEGITIGA yang dipilih akan berubah.

13. Sekarang kita akan menghitung fungsi objektif dari setiap  titik potong yang memenuhi. Pada permasalah ini ada 4 titik yaitu D,  B, C, dan F. Ketikkan fungsi objektif pada kolom INPUT dengan memberi keterangan. Misal O1=55*x(D)+89*y(D), kemudian enter.

Maka akan muncul nilai dari fungsi objektif titik D disebelah kiri pada bagian NUMBER.

14. Lanjutkan seperti pada langkah 13 untuk  titik B, E dan F. Nilai fungsi objektif dari masing-masing titik dapat dilihat di sebelah kiri layar.

15. Program ini juga bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program lnear lain dengan fungsi yang  berbeda. Dengan cara menambahkan KOTAK INPUT untuk fungsi objektif dan fungsi batasan. Klik Slider pilih INPUT BOX

Kemudian klik di sembarang tempat maka akan muncul seperti berikut

16. Tuliskan pada CAPTION  :  Fungsi Batasan 1. Kemudian  klik pada  LINKED OBJECT dan pilih a:2x+9y=648

Kemudian klik APPLY. Maka akan muncul

17. Untuk fungsi objektif dan fungsi batasan lainnya, lakukan hal yang  sama seperti  pada langkah 15-16.

Fungsi  Batasan 2, Linked Object : b=2x+y=304.

Fungsi  Objektif 1, Linked Object : O1

Fungsi  Objektif 2, Linked Object : O2

Fungsi  Objektif 3, Linked Object : O3

Fungsi  Objektif 4, Linked Object : O4

18. Untuk mengubah  fungsi sesuai dengan permasalahan yang dimiliki, klik pada kotak Fungsi Batasan atau Fungsi Objektif yang ingin diubah dan ketikan fungsinya. Maka akan muncul nilai dari setiap fungsi objektif di bagian sebelah kiri.  Selamat mencoba.

Berikut Contoh Lain

Berikut  Geogebra Untuk Menyelesaikan Program Linear

Read More

Menghitung Invers Matriks Menggunakan Adjoin

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung invers dari suatu matriks diantaranya Metode Operasi Baris yang sudah pernah dibahas pada tulisan  sebelumnya. Mungkin metode tersebut terlihat sulit karena proses pengerjaan nya yang panjang dan membutuhkan waktu lama.

Read More

Ekspansi Kofaktor : Aturan Cramer

Pada tulisan sebelumnya sudah pernah dibahas tentang cara menghitung determinan menggunakan Metode Operasi Baris dan Metode Sarrus yang sering digunakan. Maka pada tulisan kali ini akan dibahas cara menghitung determinan menggunakan metode Kofaktor atau disebut juga Aturan Cramer.

Read More

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Masalah utama yang menjadi perhatian untuk sistem linear berbentuk \((\lambda I-A)x=0\) adalah untuk menentukan nilai \(\lambda\) sehingga sistem tersebut memiliki solusi nontrivial. Nilai \(\lambda\) yang demikian ini disebut nilai karakteristik atau nilai eigen dari A.

Read More

Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris

Determinan dari matriks bujursangkar dapat dihitung dengan mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris. Khususnya untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar dari 3x3, metode ini lebih efisien untuk menghitung determinan matriks.

TEOREMA 1
Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar
a. Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka \(det(A)=0\)
b. \(det(A)=det(A^t)\)
Contoh
Hitunglah determinan dari matriks berikut \[\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 4\\ 2 & 6 & -4 & 8\\ 3 & 9 & 1 & 5\\ 1 & 1 & 4 & 8\\ \end{bmatrix}\] Penyelesaian
\(\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 4\\ 2 & 6 & -4 & 8\\ 3 & 9 & 1 & 5\\ 1 & 1 & 4 & 8\\ \end{vmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 9 & 1 & 5\\ 1 & 1 & 4 & 8\\ \end{bmatrix}=0\; \begin{array}{ll} \;\;\;\;\mbox{Baris Kedua merupakan}\\ \;\;\;\;\mbox{2 kali Baris Pertama sehingga}\\ \leftarrow \mbox{ditambahkan -2 kali}\\ \;\;\;\;\mbox{Baris Pertama ke Baris Kedua}\\ \;\;\;\;\mbox{untuk membentuk satu baris nol} \end{array}\)

TEOREMA 2
Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal) maka \(det(A)\) adalah hasilkali dari entri-entri pada diagonal utama matriks tersebut, yaitu \(det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}...a_{nn}\)
Contoh
Hitunglah determinan dari \[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3\\ 2 & 7 & 0 & 6\\ 0 & 6 & 3 & 0\\ 7 & 3 & 1 & -5\\ \end{bmatrix}\] Penyelesaian
Dengan menambahkan -3 kali Kolom Pertama ke Kolom Keempat maka akan diperoleh Matriks Segitiga Bawah.
\[det(A)=det\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 7 & 0 & 0\\ 0 & 6 & 3 & 0\\ 7 & 3 & 1 & -26\\ \end{bmatrix}=(1)(7)(3)(-26)=-546\] TEOREMA 3
Misalkan A adalah suatu matriks n x n
a. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika satu baris atau satu kolom dari A dikalikan dengan suatu skalar k, maka \(det(B)=k det(A)\)
b. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika dua baris atau dua kolom dari A dipertukarkan maka \(det(B)=-det(A)\)
c. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika kelipatan dari satu baris A ditambahkan ke baris lainnya atau ketika kelipatan dari satu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, maka \(det(B)=det(A)\)
Contoh
Hitunglah determinan matriks \[A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 5\\ 3 & -6 & 9\\ 2 & 6 & 1\\ \end{bmatrix}\] Penyelesaian
Kita akan mereduksi A menjadi bentuk eselon baris (segitiga atas) dan menerapkan TEOREMA 3.
\(det(A)=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 5\\ 3 & -6 & 9\\ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix}\)

\(=-\begin{vmatrix} 3 & -6 & 9\\ 0 & 1 & 5\\ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix} \leftarrow \mbox{Tukar Baris Pertama dengan Baris Kedua}\)

\(=-3\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 1 & 5\\ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix} \begin{array}{ll} \leftarrow \mbox{Faktor bersama yaitu 3 dari Baris Pertama }\\ \;\;\;\;\mbox{dikeluarkan melewati tanda determinan} \end{array}\)

\(=-3\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 10 & -5 \end{vmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan -2 kali Baris Pertama ke Baris Ketiga}\)

\(=-3\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & -55 \end{vmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan -10 kali Baris Kedua ke Baris Ketiga}\)

\(=(-3)(-55)\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{array}{ll} \leftarrow \mbox{Faktor bersama yaitu -55 dari Baris Ketiga }\\ \;\;\;\;\mbox{dikeluarkan melewati tanda determinan} \end{array}\)

Maka \(det(A) =(-3)(-55)(1)=165\)

Read More

Operasi Matriks Menggunakan Matlab

Untuk mempermudah kita dalam menyelesaikan operasi matriks termasuk mencari invers matriks yang terlihat sulit jika dihitung menggunakan metode Eliminasi Gauss Jordan

Read More

Invers Matriks

Matriks
\[A=\left[ {\begin{array}{cc} a &b \\ c &d \\ \end{array} } \right]\] dapat dibalik (invertible) jika \(det(A)=ad-bc\neq0\), dan inversnya dapat dihitung dengan rumus

Read More

Eliminasi Gauss

Sifat-sifat Matriks Eselon Baris Tereduksi:

1. Jika satu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. bilangan 1 ini disebut 1 Utama (Leading 1)

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. 4. Setiap kolom memiliki 1 utama, memiliki nol pada tempat-tempat lainnya. Matriks yang memiliki 3 sifat pertama di atas disebut dalam bentuk eselon baris (row-echelon form). Jadi  matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi sudah pasti merupakan matriks dalam bentuk eselon baris, tetapi tidak berlaku sebaliknya.

Contoh Matriks Eselon Baris Tereduksi   \[\left[ {\begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 7\\0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{cc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 0 & 1 & -2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{array} } \right]\] Contoh Matriks Eselon Baris   \[\left[ {\begin{array}{cc} 1 & 4 & -3 & 7\\ 0 & 1 & 6 & 2\\0 & 0 & 1 & 5 \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{cc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 0 & 1 & 2 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 1& -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right]\]
Matriks dalam bentuk ESELON BARIS memiliki nol di bawah setiap Leading 1, sementara matriks dalam bentuk ESELON BARIS TEREDUKSI memiliki nol di bawah dan di atas setiap Leading 1.
Contoh :
Selesaikan persamaan linear berikut menggunakan Eliminasi Gauss Jordan
\begin{array} 1x_{1}&+3x_{2}&-2x_{3}& &+2x_{5}& &=0\\ 2x_{1}&+6x_{2}&-5x_{3}&-2x_{4}&+4x_{5}&-3x_{6}&=-1\\ & &\;\;\;5x_{3}&+10x_{4}& &+15x_{6}&=5\\ 2x_{1}&+6x_{2}& &+8x_{4}&+4x_{5}&+18x_{6}&=6\\ \end{array} PENYELESAIAN
Matriks untuk sistem persamaan tersebut adalah :

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\ 2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6\\ \end{bmatrix}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\ 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6\\ \end{bmatrix} \begin{array}{ll} \leftarrow \mbox{Tambahkan -2 kali Baris Pertama ke }\\ \;\;\;\;\mbox{Baris Kedua dan Baris Keempat} \end{array}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\ 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Kalikan Baris Kedua dengan -1}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan -5 kali Baris Kedua ke Baris Ketiga }\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tambah -4 kali Baris Kedua ke Baris Keempat}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tukarkan Baris Ketiga dengan Baris Keempat}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Kalikan Baris Ketiga dengan 1/6}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan -3 kali Baris Ketiga ke Baris Kedua}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan 2 kali Baris Kedua ke Baris Pertama}\)

Maka diperoleh bentuk Eselon Baris Tereduksi.
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah
\begin{array} 1x_{1}&+3x_{2}& &+4x_{4} &+2x_{5}& &=0\\ & & x_{3}&+2x_{4}& & & =0\\ & & & & &x_{6}&=\frac{1}{3}\\ \end{array}
Tetapkan nilai sembarang \(r,s\) dan \(t\) masing-masing untuk variabel-variabel bebas \(x_2, x_4\) dan \(x_5\) maka solusi umum dinyatakan sebagai berikut :
\[x_1= -3r-4s-2t ,\; x_2=r, \; x_3=-2s, \; x_4=s, \; x_5= t, \; x_6=\frac{1}{3}\]

Read More

DETERMINAN MATRIKS

Determinan Matriks
Determinan merupakan suatu fungsi khusus yang mengasosiasikan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar. Pada tulisan ini akan dibahas cara menghitung determinan dari matriks 2x2 dan 3x3.

Read More