Masalah utama yang menjadi perhatian untuk sistem linear berbentuk \((\lambda I-A)x=0\) adalah untuk menentukan nilai \(\lambda\) sehingga sistem tersebut memiliki solusi nontrivial. Nilai \(\lambda\) yang demikian ini disebut nilai karakteristik atau nilai eigen dari A.
Jika \(\lambda\) adalah nilai eigen dari A maka solusi nontrivialnya disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan \(\lambda\). Sistem \((\lambda I-A)x=0\) memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika \(det(\lambda I-A)=0\).
Contoh Sistem linear
\begin{align*} x_{1}+3x_{2}&=\lambda x_{1}\\ 4x_{1}+2x_{2}&=\lambda x_{2} \end{align*} Dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut \[\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\] dimana \[A=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2 \end{bmatrix} \mbox{ dan } x=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\] Sistem ini dapat ditulis kembali sebagai \[\lambda \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\] atau \[\lambda \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\] atau \[\begin{bmatrix} \lambda -1 & -3\\ -4 & \lambda -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\] dengan \[\lambda I-A = \begin{bmatrix} \lambda -1 & -3\\ -4 & \lambda -2 \end{bmatrix}\] Kemudian akan ditentukan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks A \[det(\lambda I-A)= \begin{vmatrix} \lambda -1 & -3\\ -4 & \lambda -2 \end{vmatrix}=0 \mbox{ atau } \lambda ^2-3\lambda -10=0\] Bentuk faktorisasi dari persamaan ini adalah \((\lambda +2)(\lambda -5)=0\), jadi nilai-nilai eigen dari A adalah \(\lambda =-2 \mbox{ dan } \lambda =5\).
Menurut definisi \[\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\] adalah suatu vektor eigen dari \(A\) jika dan hanya jika x adalah solusi nontrivial dari \((\lambda I-A)x=0\), yaitu \[\begin{bmatrix} \lambda -1 & -3\\ -4 & \lambda -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\] jika \(\lambda =-2\) maka \[\begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\] Dengan menyelesaikan sistem ini menggunakan operasi baris
\(\;\;\;\;\;\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -4 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Kalikan Baris Pertama dengan -1/3}\)
\(\;\;\;\;\;\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan 4 kali Baris Pertama ke Baris Kedua}\)
maka menghasilkan \begin{align} x_{1}+x_{2}&=0\\ x_{1}&=-x_{2} \end{align} Misalkan \(x_{2}=t \mbox{ maka } x_{1}=-t\) sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan \(\lambda =-2\) adalah solusi taknol berbentuk \[\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -t\\ t \end{bmatrix}\] jika \(\lambda =5\) maka \[\begin{bmatrix} 4 & -3\\ -4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\] Dengan menyelesaikan sistem ini menggunakan operasi baris
\(\;\;\;\;\;\begin{bmatrix} 1 & -\frac{3}{4}\\ -4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Kalikan Baris Pertama dengan 1/4}\)
\(\;\;\;\;\;\begin{bmatrix} 1 & -\frac{3}{4}\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan 4 kali Baris Pertama ke Baris Kedua}\)
maka menghasilkan \begin{align} x_{1}-\frac{3}{4}x_{2}&=0\\ x_{1}&=-\frac{3}{4}x_{2} \end{align} Misalkan \(x_{2}=t \mbox{ maka } x_{1}=-\frac{3}{4}t\) sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan \(\lambda =5\) adalah solusi taknol berbentuk \[\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -\frac{3}{4}t\\ t \end{bmatrix}\]
Jakarta
