Masalah utama yang menjadi perhatian untuk sistem linear berbentuk (λI−A)x=0 adalah untuk menentukan nilai λ sehingga sistem tersebut memiliki solusi nontrivial. Nilai λ yang demikian ini disebut nilai karakteristik atau nilai eigen dari A.
Jika λ adalah nilai eigen dari A maka solusi nontrivialnya disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. Sistem (λI−A)x=0 memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika det(λI−A)=0.
Contoh Sistem linear
x1+3x2=λx14x1+2x2=λx2 Dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut [1342][x1x2]=λ[x1x2] dimana A=[1342] dan x=[x1x2] Sistem ini dapat ditulis kembali sebagai λ[x1x2]−[1342][x1x2]=[00] atau λ[1001][x1x2]−[1342][x1x2]=[00] atau [λ−1−3−4λ−2][x1x2]=[00] dengan λI−A=[λ−1−3−4λ−2] Kemudian akan ditentukan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks A det(λI−A)=|λ−1−3−4λ−2|=0 atau λ2−3λ−10=0 Bentuk faktorisasi dari persamaan ini adalah (λ+2)(λ−5)=0, jadi nilai-nilai eigen dari A adalah λ=−2 dan λ=5.
Menurut definisi x=[x1x2] adalah suatu vektor eigen dari A jika dan hanya jika x adalah solusi nontrivial dari (λI−A)x=0, yaitu [λ−1−3−4λ−2][x1x2]=[00] jika λ=−2 maka [−3−3−4−4][x1x2]=[00] Dengan menyelesaikan sistem ini menggunakan operasi baris
[11−4−4][x1x2]=[00]←Kalikan Baris Pertama dengan -1/3
[1100][x1x2]=[00]←Tambahkan 4 kali Baris Pertama ke Baris Kedua
maka menghasilkan x1+x2=0x1=−x2 Misalkan x2=t maka x1=−t sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan λ=−2 adalah solusi taknol berbentuk x=[x1x2]=[−tt] jika λ=5 maka [4−3−43][x1x2]=[00] Dengan menyelesaikan sistem ini menggunakan operasi baris
[1−34−43][x1x2]=[00]←Kalikan Baris Pertama dengan 1/4
[1−3400][x1x2]=[00]←Tambahkan 4 kali Baris Pertama ke Baris Kedua
maka menghasilkan x1−34x2=0x1=−34x2 Misalkan x2=t maka x1=−34t sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan λ=5 adalah solusi taknol berbentuk x=[x1x2]=[−34tt]
Jakarta
