Ekspansi Kofaktor : Aturan Cramer

Pada tulisan sebelumnya sudah pernah dibahas tentang cara menghitung determinan menggunakan Metode Operasi Baris dan Metode Sarrus yang sering digunakan. Maka pada tulisan kali ini akan dibahas cara menghitung determinan menggunakan metode Kofaktor atau disebut juga Aturan Cramer.

Untuk menghitung nilai kofaktor terlebih dulu kita harus menghitung nilai Minor dari setiap elemen matriks. Minor disimbolkan dengan huruf M. Minor untuk setiap elemen matriks dinyatakan sebagai $M_{ij}$ dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan/dicoret dari matriks tersebut. Bilangan $(-1)^{i+j}M_{ij}$ dinyatakan sebagai $C_{ij}$ dan disebut sebagai kofaktor dari entri $a_{ij}$.

Contoh 1 : Misalkan
$$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -4\\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 4 & 8 \end{bmatrix}$$ Minor dari entri $a_{11}$ adalah

$$M_{11}=\begin{vmatrix} 5 & 6\\ 4 & 8 \end{vmatrix}=(5)(8)-(4)(6)=16$$ Kofaktor dari $a_{11}$ adalah $$C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}=16$$ Demikian juga minor dari entri $a_{32}$ adalah

$$M_{32}=\begin{vmatrix} 3 & -4\\ 2 & 6 \end{vmatrix}=(3)(6)-(2)(-4)=26$$ Kofaktor dari $a_{32}$ adalah $$C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-M_{32}=-26$$ Perhatikan bahwa kofaktor dan minor dari suatu elemen $a_{ij}$ hanya berbeda pada tandanya, dimana $C_{ij}=\pm M{ij}$. Satu cara cepat menentukan apakah tanda + atau - yang digunakan adalah dengan menggunakan fakta bahwa tanda yang berkaitan dengan $C_{ij}$ dan $M{ij}$ berada dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari susunan "papan catur" berikut $$\begin{bmatrix} + & - & + & - & + & \cdots\\ - & + & - & + & - & \cdots\\ + & - & + & - & + & \cdots\\ - & + & - & + & - & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{bmatrix}$$ Sebagai contoh $C_{11}=M_{11}, \; C_{21}=-M_{21}, \; C_{32}=-M_{32}, \; C_{43}=-M_{43}$, dan seterusnya.
Berdasarkan definisi maka dapat ditulis dalam bentuk berikut $$\begin{align} det(A)&=a_{11}M_{11}+a_{12}(-M_{12})+a_{13}M_{13}\\ &=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} \end{align}$$
TEOREMA 1. Ekspansi Kofaktor
Determinan dari matriks A, n x n, dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada sebarang baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menjumlahkan hasilkali-hasilkali yang diperoleh, dimana untuk setiap $1\leq i \leq n$ dan $1\leq j \leq n$. $$det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+ \cdots +a_{nj}C_{nj}$$ $$\mbox{(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)}$$ dan $$det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+ \cdots +a_{in}C_{in}$$ $$\mbox{(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)}$$ Contoh 2 :
Hitunglah determinan matriks berikut $$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0\\ -2 & -4 & 3\\ 5 & 4 & -2 \end{bmatrix}$$ Penyelesaian :

Menggunakan Teorema 1 maka kita akan memilih i = 1 dan j = 1, 2, 3.

$$M_{11}=\begin{vmatrix} -4 & 3\\ 4 & -2 \end{vmatrix}=(-4)(-2)-(4)(3)=-4$$ Kofaktor dari $a_{11}$ adalah $$C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}=-4$$

$$M_{12}=\begin{vmatrix} -2 & 3\\ 5 & -2 \end{vmatrix}=(-2)(-2)-(5)(3)=-11$$ Kofaktor dari $a_{12}$ adalah $$C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-M_{12}=11$$

$$M_{13}=\begin{vmatrix} -2 & -4\\ 5 & 4 \end{vmatrix}=(-2)(4)-(5)(-4)=12$$ Kofaktor dari $a_{13}$ adalah $$C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=M_{13}=12$$ Maka $$\begin{align} det(A)&=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\\ &=3(-4)+(1)(11)+0(12)\\ &=-1 \end{align}$$ Contoh 3 : Hitunglah determinan dari matriks berikut $$B=\begin{bmatrix} 1& 4 &-1 & 0\\ 2& 3 &5 &-2 \\ 0& 3 & 1 &6 \\ 3& 0 &2 &1 \end{bmatrix}$$ Penyelesaian :
Untuk meneghitung determinan matriks B kita akan memilih i = 1, 2, 3, 4 dan j = 1. Determinan dari masing-masing minor akan dihitung menggunakan Metode Sarrus. $$\begin{align} det(B)&=\begin{bmatrix} 1& 4 &-1 & 0\\ 2& 3 &5 &-2 \\ 0& 3 & 1 &6 \\ 3& 0 &2 &1 \end{bmatrix}\\ &=(1)\begin{vmatrix} 3& 5 &-2 \\ 3& 1 &6 \\ 0& 2 & 1 \\ \end{vmatrix}-(2)\begin{vmatrix} 4& -1 &0 \\ 3& 1 &6 \\ 0& 2 & 1 \\ \end{vmatrix}+(0)\begin{vmatrix} 4& -1 &0 \\ 3& 5 &-2 \\ 0& 2 & 1 \\ \end{vmatrix}\\ &\;\;\;\;-(3)\begin{vmatrix} 4& -1 &0 \\ 3& 5 &-2 \\ 0& 2 & 1 \\ \end{vmatrix}\\ &=(1)(-60)-(2)(-41)+(0)(39)-(3)(152)\\ &=-434 \end{align}$$