Menghitung Invers Matriks Menggunakan Adjoin

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung invers dari suatu matriks diantaranya Metode Operasi Baris yang sudah pernah dibahas pada tulisan  sebelumnya. Mungkin metode tersebut terlihat sulit karena proses pengerjaan nya yang panjang dan membutuhkan waktu lama.
Maka pada tulisan ini akan dibahas metode lain  yang juga dapat digunakan untuk menghitung invers dari suatu matriks yaitu menggunakan Adjoin  dari matriks tersebut.
Sebelum mempelajari cara mencari adjoin, harus terlebih dahulu memahami cara mencari Kofaktor dari matriks tersebut.
DEFINISI
Jika A adalah matriks n x n sebarang dari \(C_{ij}\) adalah kofaktor dari \(a_{ij}\), maka matriks \[\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n}\\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}\] disebut matriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut adjoin dari A dan dinyatakan sebagai adj(A).

TEOREMA Invers Matriks dengan Menggunakan Adjoinnya
Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka \[A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)\] Contoh :
Misalkan \[A=\begin{bmatrix} 3&2&1\\ 1&6&3\\ 2&-4&0 \end{bmatrix}\] Kofaktor-kofaktor dari A adalah \[\begin{matrix} C_{11}=12 & C_{12}=6 & C_{13}=-16\\ C_{21}=4 & C_{22}=2 & C_{23}=16\\ C_{31}=12 & C_{32}=-10 & C_{33}=16 \end{matrix}\] Jadi matriks kofaktor adalah \[\begin{bmatrix} 12 & 6 & -16\\ 4 & 2 & 16\\ 12 & -10 & 16 \end{bmatrix}\] dan adjoin dari A adalah \[adj(A)=\begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16 \end{bmatrix}\] dengan menggunakan metode sarrus diperoleh \[det(A)=\begin{vmatrix} 3&2&1\\ 1&6&3\\ 2&-4&0 \end{vmatrix}=64\] Jadi \[\begin{align} A^{-1}&=\frac{1}{det(A)}adj(A)\\ &=\frac{1}{64}\begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16 \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} \frac{12}{64} & \frac{4}{64} & \frac{12}{64}\\ \frac{6}{64} & \frac{2}{64} & -\frac{10}{64}\\ -\frac{16}{64} & \frac{16}{64} & \frac{16}{64} \end{bmatrix} \end{align}\]