Invers Matriks

Matriks
\[A=\left[ {\begin{array}{cc} a &b \\ c &d \\ \end{array} } \right]\] dapat dibalik (invertible) jika \(det(A)=ad-bc\neq0\), dan inversnya dapat dihitung dengan rumus

\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[ {\begin{array}{cc} d &-b \\ -c &a \\ \end{array} } \right]=\left[{\begin{array}{cc} \frac{d}{ad-bc} &-\frac{b}{ad-bc} \\ -\frac{c}{ad-bc} &\frac{a}{ad-bc}\\ \end{array} } \right]\] Contoh :
Misal diberikan sebuah matriks sebagai berikut
\[A=\left[ {\begin{array}{cc} 1 &2\\ 1 & 3 \\ \end{array} } \right]\] Maka inver dari matriks A adalah
\begin{align*} A^{-1}&=\frac{1}{ad-bc}\left[ {\begin{array}{cc} d &-b \\ -c &a \\ \end{array}} \right]\\ &=\frac{1}{(1)(3)-(2)(1)}\left[ {\begin{array}{cc} 3 &-2 \\ -1 &1 \\ \end{array}} \right]\\ &=\left[ {\begin{array}{cc} 3 &-2 \\ -1 &1 \\ \end{array}} \right] \end{align*} Untuk mencari invers dari matriks dengan orde lebih dari 2, maka kita dapat menggunakan metode ELiminasi Gauss Jordan

MENENTUKAN INVERS MATRIKS MENGGUNAKAN OPERASI BARIS
Contoh : \[A=\left[ {\begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8\\ \end{array} } \right]\] Untuk mencari invers matriks, akan digabungkan matriks A dan matriks I. \[[A|I]\] Kemudian akan dilakukan operasi-operasi baris terhadap matriks hingga sisi kiri tereduksi menjadi I dan sisi kanan menjadi \(A^{-1}\) sehingga matriks akhir berbentuk \[[I|A^{-1}]\] Perhitungan mencari invers dapat dilakukan sebagai berikut :

\(\;\;\;A=\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right]\)

\(\;\;\;A=\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -3 & -2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 5 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \begin{array}{ll} \leftarrow \mbox{Tambahkan -2 kali Baris Pertama }\\ \;\;\;\;\mbox{ke Baris Kedua dan -1 kali Baris }\\ \;\;\;\;\mbox{Pertama ke Baris Ketiga} \end{array}\)

\(\;\;\;A=\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -3 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -5 & 2 & 1 \\ \end{array}\right] \begin{array}{ll} \leftarrow \mbox{Tambahkan 2 kali Baris Kedua}\\ \;\;\;\;\mbox{ke Baris Ketiga} \end{array}\)

\(\;\;\;A=\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -3 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 5 & -2 & -1 \\ \end{array}\right] \leftarrow \mbox{Kalikan Baris Ketiga dengan -1}\)

\(\;\;\;A=\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 0 & -14 & 6 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 13 & -5 & -3\\ 0 & 0 & 1 & 5 & -2 & -1 \\ \end{array}\right] \begin{array}{ll} \leftarrow \mbox{Tambahkan 3 kali Baris Ketiga }\\ \;\;\;\;\mbox{ke Baris Kedua dan -3 kali Baris}\\ \;\;\;\;\mbox{Ketiga ke Baris Pertama} \end{array}\)

\(\;\;\;A=\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -40 & 16 & 9\\ 0 & 1 & 0 & 13 & -5 & -3\\ 0 & 0 & 1 & 5 & -2 & -1 \\ \end{array}\right] \begin{array}{ll} \leftarrow \mbox{Tambahkan -2 kali Baris Kedua}\\ \;\;\;\;\mbox{ke Baris Pertama} \end{array}\)

Jadi \(\;\;\;A^{-1}=\begin{bmatrix} -40 & 16 & 9\\ 13 & -5 & -3\\ 5 & -2 & -1 \end{bmatrix}\)