Eliminasi Gauss

Sifat-sifat Matriks Eselon Baris Tereduksi:

1. Jika satu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. bilangan 1 ini disebut 1 Utama (Leading 1)

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. 4. Setiap kolom memiliki 1 utama, memiliki nol pada tempat-tempat lainnya. Matriks yang memiliki 3 sifat pertama di atas disebut dalam bentuk eselon baris (row-echelon form). Jadi  matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi sudah pasti merupakan matriks dalam bentuk eselon baris, tetapi tidak berlaku sebaliknya.

Contoh Matriks Eselon Baris Tereduksi   \[\left[ {\begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 7\\0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{cc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 0 & 1 & -2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{array} } \right]\] Contoh Matriks Eselon Baris   \[\left[ {\begin{array}{cc} 1 & 4 & -3 & 7\\ 0 & 1 & 6 & 2\\0 & 0 & 1 & 5 \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{cc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 0 & 1 & 2 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 1& -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right]\]
Matriks dalam bentuk ESELON BARIS memiliki nol di bawah setiap Leading 1, sementara matriks dalam bentuk ESELON BARIS TEREDUKSI memiliki nol di bawah dan di atas setiap Leading 1.
Contoh :
Selesaikan persamaan linear berikut menggunakan Eliminasi Gauss Jordan
\begin{array} 1x_{1}&+3x_{2}&-2x_{3}& &+2x_{5}& &=0\\ 2x_{1}&+6x_{2}&-5x_{3}&-2x_{4}&+4x_{5}&-3x_{6}&=-1\\ & &\;\;\;5x_{3}&+10x_{4}& &+15x_{6}&=5\\ 2x_{1}&+6x_{2}& &+8x_{4}&+4x_{5}&+18x_{6}&=6\\ \end{array} PENYELESAIAN
Matriks untuk sistem persamaan tersebut adalah :

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\ 2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6\\ \end{bmatrix}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\ 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6\\ \end{bmatrix} \begin{array}{ll} \leftarrow \mbox{Tambahkan -2 kali Baris Pertama ke }\\ \;\;\;\;\mbox{Baris Kedua dan Baris Keempat} \end{array}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\ 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Kalikan Baris Kedua dengan -1}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan -5 kali Baris Kedua ke Baris Ketiga }\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tambah -4 kali Baris Kedua ke Baris Keempat}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tukarkan Baris Ketiga dengan Baris Keempat}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Kalikan Baris Ketiga dengan 1/6}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan -3 kali Baris Ketiga ke Baris Kedua}\)

\(\begin {bmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan 2 kali Baris Kedua ke Baris Pertama}\)

Maka diperoleh bentuk Eselon Baris Tereduksi.
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah
\begin{array} 1x_{1}&+3x_{2}& &+4x_{4} &+2x_{5}& &=0\\ & & x_{3}&+2x_{4}& & & =0\\ & & & & &x_{6}&=\frac{1}{3}\\ \end{array}
Tetapkan nilai sembarang \(r,s\) dan \(t\) masing-masing untuk variabel-variabel bebas \(x_2, x_4\) dan \(x_5\) maka solusi umum dinyatakan sebagai berikut :
\[x_1= -3r-4s-2t ,\; x_2=r, \; x_3=-2s, \; x_4=s, \; x_5= t, \; x_6=\frac{1}{3}\]