Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris

Determinan dari matriks bujursangkar dapat dihitung dengan mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris. Khususnya untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar dari 3x3, metode ini lebih efisien untuk menghitung determinan matriks.

TEOREMA 1
Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar
a. Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka \(det(A)=0\)
b. \(det(A)=det(A^t)\)
Contoh
Hitunglah determinan dari matriks berikut \[\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 4\\ 2 & 6 & -4 & 8\\ 3 & 9 & 1 & 5\\ 1 & 1 & 4 & 8\\ \end{bmatrix}\] Penyelesaian
\(\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 4\\ 2 & 6 & -4 & 8\\ 3 & 9 & 1 & 5\\ 1 & 1 & 4 & 8\\ \end{vmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 9 & 1 & 5\\ 1 & 1 & 4 & 8\\ \end{bmatrix}=0\; \begin{array}{ll} \;\;\;\;\mbox{Baris Kedua merupakan}\\ \;\;\;\;\mbox{2 kali Baris Pertama sehingga}\\ \leftarrow \mbox{ditambahkan -2 kali}\\ \;\;\;\;\mbox{Baris Pertama ke Baris Kedua}\\ \;\;\;\;\mbox{untuk membentuk satu baris nol} \end{array}\)

TEOREMA 2
Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal) maka \(det(A)\) adalah hasilkali dari entri-entri pada diagonal utama matriks tersebut, yaitu \(det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}...a_{nn}\)
Contoh
Hitunglah determinan dari \[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3\\ 2 & 7 & 0 & 6\\ 0 & 6 & 3 & 0\\ 7 & 3 & 1 & -5\\ \end{bmatrix}\] Penyelesaian
Dengan menambahkan -3 kali Kolom Pertama ke Kolom Keempat maka akan diperoleh Matriks Segitiga Bawah.
\[det(A)=det\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 7 & 0 & 0\\ 0 & 6 & 3 & 0\\ 7 & 3 & 1 & -26\\ \end{bmatrix}=(1)(7)(3)(-26)=-546\] TEOREMA 3
Misalkan A adalah suatu matriks n x n
a. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika satu baris atau satu kolom dari A dikalikan dengan suatu skalar k, maka \(det(B)=k det(A)\)
b. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika dua baris atau dua kolom dari A dipertukarkan maka \(det(B)=-det(A)\)
c. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika kelipatan dari satu baris A ditambahkan ke baris lainnya atau ketika kelipatan dari satu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, maka \(det(B)=det(A)\)
Contoh
Hitunglah determinan matriks \[A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 5\\ 3 & -6 & 9\\ 2 & 6 & 1\\ \end{bmatrix}\] Penyelesaian
Kita akan mereduksi A menjadi bentuk eselon baris (segitiga atas) dan menerapkan TEOREMA 3.
\(det(A)=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 5\\ 3 & -6 & 9\\ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix}\)

\(=-\begin{vmatrix} 3 & -6 & 9\\ 0 & 1 & 5\\ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix} \leftarrow \mbox{Tukar Baris Pertama dengan Baris Kedua}\)

\(=-3\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 1 & 5\\ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix} \begin{array}{ll} \leftarrow \mbox{Faktor bersama yaitu 3 dari Baris Pertama }\\ \;\;\;\;\mbox{dikeluarkan melewati tanda determinan} \end{array}\)

\(=-3\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 10 & -5 \end{vmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan -2 kali Baris Pertama ke Baris Ketiga}\)

\(=-3\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & -55 \end{vmatrix} \leftarrow \mbox{Tambahkan -10 kali Baris Kedua ke Baris Ketiga}\)

\(=(-3)(-55)\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{array}{ll} \leftarrow \mbox{Faktor bersama yaitu -55 dari Baris Ketiga }\\ \;\;\;\;\mbox{dikeluarkan melewati tanda determinan} \end{array}\)

Maka \(det(A) =(-3)(-55)(1)=165\)